2015年陕西高考理科数学试题答案（word版）

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整体理科数学考试难度：（五颗为很难）

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2015年陕西省高考理科数学试题答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.1.设集合，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析：，所以，故选A.

考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算。

2.某中学初中部共有110名教师，开云KY官方登录入口 部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师

的人数为（ ）

A.167 B.137 C.123 D.93

【答案】B

考点：扇形图。

3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数

可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）

A.5 B.6 C.8 D.10

【答案】C

【解析】

试题分析：由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C.

考点：三角函数的图象与性质。

4.二项式的展开式中的系数为15，则（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】C

考点：二项式定理。

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D.

考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积。

6.“”是“”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：因为，所以或，因为“”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.

考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件。

7.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

考点：1、向量的模；2、向量的数量积。

8.根据右边的图，当输入x为2006时，输出的（ ）

A.28 B.10 C.4 D.2

【答案】B

【解析】[来源：]

试题分析：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；；第1003次运行：；第1004次运行：。不满足条件，停止运行，所以输出的，故选B.

考点：程序框图。

9.设，若，则下列关系

式中正确的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性。

10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料。已知生产1吨每种产品需原料及每天原料

的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最

大利润为（ ）

A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元

【答案】D

【解析】

试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润

由题意可列，其表示如图阴影部分区域：

当直线过点时，取得最大值，所以，故选D.

考点：线性规划。

11.设复数，若，则的概率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

试题分析：

如图可求得，阴影面积等于

若，则的概率是，故选B.

考点：1、复数的模；2、几何概型。

12.对二次函数（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有

一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）

A.-1是的零点 B.1是的极值点

C.3是的极值 D. 点在曲线上

【答案】A

考点：1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 .

【答案】

【解析】

试题分析：设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：。

考点：等差中项。

14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p= .

【答案】

考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质。

15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p处的切线垂直，则p的坐标

为 .

【答案】

【解析】

试题分析：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：。

考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系。

16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表

示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .

【答案】

【解析】

试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：

原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：。

考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。）

17.（本小题满分12分）的内角，所对的边分别为，。向量

与平行。

（I）求；

（II）若，求的面积。

【答案】（I）；（II）。[来源：ZXXK]

试题解析：（I）因为，所以，

由正弦定理，得

又，从而，

由于，所以

（II）解法一：由余弦定理，得

而

得，即

因为，所以。

故ABC的面积为。

考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式。

18.（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，

，是的中点，是与的交点。将沿折起到的位置，如图。

（I）证明：平面；

（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值。

【答案】（I）证明见解析；（II）。

试题解析：（I）在图1中，

因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BE AC

即在图2中，BE ，BE OC

从而BE平面

又CDBE，所以CD平面。

[来源：Z。xx。k.Com]

（II）由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE ，BE OC

所以为二面角的平面角，所以。

如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，

因为，

所以

得 ，。

设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，

则，得，取，

，得，取，

从而，

即平面与平面夹角的余弦值为。

考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用。

19.（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，

对其容量为的样本进行统计，结果如下：[来源：Z,xx,k.Com]

（分钟）253035[来源：ZXXK]40

频数（次）20304010

（I）求的分布列与数学期望；

（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从

离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率。

【答案】（I）分布列见解析，；（II）。

【解析】

试题分析：（I）先算出的频率分布，进而可得的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望；（II）先设事件表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过分钟”，再算出的概率。

试题解析：（I）由统计结果可得T的频率分步为

（分钟）25303540

频率0.20.30.40.1

以频率估计概率得T的分布列为

25303540

0.20.30.40.1

从而 （分钟）

（II）设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同。设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”。

解法一：

.

解法二：

故。

考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率。

20.（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点

，的直线的距离为。

（I）求椭圆的离心率；

（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方

程。

【答案】（I）；（II）。

【解析】

试题分析：（I）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II）先由（I）知椭圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程。

试题解析：（I）过点（c,0），（0,b）的直线方程为，

则原点O到直线的距离，

由，得，解得离心率。

（II）解法一：由（I）知，椭圆E的方程为。 （1）

依题意，圆心M（-2,1）是线段AB的中点，且。

易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入（1）得

设则

由，得解得。

从而。

于是。

由，得，解得。

故椭圆E的方程为。

解法二：由（I）知，椭圆E的方程为。 （2）

依题意，点A，B关于圆心M（-2,1）对称，且。

设则，

两式相减并结合得。

易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率

因此AB直线方程为，代入（2）得

所以，。

于是。

由，得，解得。

故椭圆E的方程为。

考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置。

21.（本小题满分12分）设是等比数列，的各项和，其中，

.

（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；

（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较

与的大小，并加以证明。

【答案】（I）证明见解析；（II）当时， ，当时，证明见解析。

【解析】

试题分析：（I）先利用零点定理可证在内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证在内有且仅有一个零点，进而利用是的零点可证；（II）先设，再对的取值范围进行讨论来判断与的大小，进而可得和的大小。

试题解析：（I）则

所以在内至少存在一个零点。

又，故在内单调递增，

所以在内有且仅有一个零点。

因为是的零点，所以，即，故。

考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性。

请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，切于点，直线交于，两点，垂足为。

（I）证明：；

（II）若，求的直径。

【答案】（I）证明见解析；（II）。

【解析】

试题分析：（I）先证，再证，进而可证；（II）先由（I）知平分，进而可得的值，再利用切割线定理可得的值，进而可得的直径。

试题解析：（I）因为DE为圆O的直径，则，

又BCDE，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=BED.

又AB切圆O于点B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.

（II）由（I）知BD平分CBA，则，又，从而，

所以，所以。

由切割线定理得，即=6，

故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3.

考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理。

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）。以原点为极点，轴正半轴为极轴

建立极坐标系，的极坐标方程为。

（I）写出的直角坐标方程；

（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标。

【答案】（I）；（II）。

【解析】

试题分析：（I）先将两边同乘以可得，再利用，可得的直角坐标方程；（II）先设的坐标，则，再利用二次函数的性质可得的最小值，进而可得的直角坐标。

试题解析：（I）由，

从而有。

（II）设，则，

故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）。

考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质。

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于的不等式的解集为。

（I）求实数，的值；

（II）求的最大值。

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