2017年高考数学必考知识点：方差

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开云KY官方登录入口 数学知识点之方差定义

方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。

开云KY官方登录入口 数学知识点之方差性质

1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动);

2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);

3.若X、Y相互独立，则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为

当X、Y相互独立时，，故第三项为零。

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n

(n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)

开云KY官方登录入口 数学知识点之方差的应用

计算下列一组数据的极差、方差及标准差(精确到0.01).

50，55，96，98，65，100，70，90，85，100.

答：极差为

100-50=50.

平均数为

一．方差的概念与计算公式

例1 两人的5次测验成绩如下：

X: 50，100，100，60，50 E（X ）=72；

Y: 73， 70， 75，72，70 E（Y ）=72.

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为D（X ）：

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里 是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动

二．方差的性质

1.设C为常数，则D（C） = 0（常数无波动）；

2. D（CX ）=C2 D（X ） （常数平方提取）；

证：

特别地 D（-X ） = D（X ）， D（-2X ） = 4D（X ）（方差无负值）

3.若X 、Y 相互独立，则

证：

记则前面两项恰为 D（X ）和D（Y ），第三项展开后为

当X、Y 相互独立时，故第三项为零。

特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=（x1+x2+x3+…+xn）/n （n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值）

三．常用分布的方差

1.两点分布

2.二项分布

X ~ B （ n， p ）

引入随机变量 Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）

3.泊松分布（推导略）

4.均匀分布

另一计算过程为

5.指数分布（推导略）

6.正态分布（推导略）

7.t分布 ：其中X~T（n），E（X）=0；D（X）=n/（n-2）；

8.F分布：其中X~F（m，n），E（X）=n/（n-2）；

正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。

例2 求上节例2的方差。

解 根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

方差的定义：

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