2017年高考数学必考知识点：对数及对数函数

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高考数学所考的知识点比较多，为了方便同学们更好、更准高效学习开云KY官方登录入口 数学，开云平台登陆 小编整理了高考数学必考知识点：对数及对数函数，供参考。

高考数学必考知识点：对数定义

如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

注：1、以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。

2、称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。

3、零没有对数。

4、在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。

高考数学必考知识点：对数公式

高考数学必考知识点：对数函数定义

一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

高考数学必考知识点：对数函数性质

定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1}

值域：实数集R，显然对数函数无界。

定点：函数图像恒过定点(1，0)。

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数;

奇偶性：非奇非偶函数

周期性：不是周期函数

对称性：无

最值：无

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab (其中a>0,a≠1，b>0)

当a>1,b>1时，y=logab>0;

当01时，y=logab<0;

当a>1,0

对数的基本性质及推导过程

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推导

1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、因为a^b=a^b

令t=a^b

所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

3、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)

由指数的性质

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

4、与（3）类似处理

MN=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

5、与（3）类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性质4推广

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下：

由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

换底公式的推导：

设e^x=b^m,e^y=a^n

则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

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