2014年甘肃高考理科数学试题及答案

2014年甘肃高考数学（理）试题及高考试题答案

全国卷新可标2卷包括省份：吉林、宁夏、青海、新疆、云南、内蒙古、贵州、甘肃、西藏等

整体数学考试难度：（五颗为很难）

2014年全国卷新课标2卷高考数学（理）试题及答案【点击前面下载】

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2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科

（新课标卷二Ⅱ）

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=( )

A. ｛1｝

B. ｛2｝

C. ｛0，1｝

D. ｛1，2｝

2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk，则（ ）

A. - 5

B. 5

C. - 4+ i

D. - 4 - i

3.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

4.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )

A. 5

B.

C. 2

D. 1

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）

A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）

A. B. C. D.

7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

9.设x,y满足约束条件，则的最大值为（ ）

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

10.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）

A. B. C. D.

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，

则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.

12.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.本试题由http://www.pourbars.com整理

二.填空题

13.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)

14.函数的最大值为_________.

15.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.

16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则的取值范围是________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知数列满足=1，.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）证明：.

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.

19. （本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，

20. （本小题满分12分）

设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.

（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.

21. （本小题满分12分）

已知函数=zxxk

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；

（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，开云平台登陆 同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：

（Ⅰ）BE=EC；

（Ⅱ）ADDE=2

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴

为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，

.zxxk

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲

设函数=

（Ⅰ）证明：2；

（Ⅱ）若，求的取值范围.

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、 选择题

（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D

（ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C

二、 填空题

（13） （14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]

三、解答题

（17）解：

（1）由得

又，所以，{ } 是首项为，公比为3的等比数列。

=，因此{}的通项公式为=

（2）由（1）知=

因为当n1时，所以，

于是，=

所以，

（18）解：

（1）连结BD交AC于点O,连结EO

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点

又E为的PD的中点，所以EOPB

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC

（2）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直

如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则A—xyz,则D(0, ,0),则E(0, ,),=(0, ,)

设B(m,0,0)(m＞0)，则C（m, ，0）

设n(x,y,z)为平面ACE的法向量，

则{ 即{

可取=（,-1, ）

又=（1,0,0）为平面DAE的法向量，

由题设=，即

=，解得m=

因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为，三棱锥E-ACD的体积为

V==

19解：

（1） 由所得数据计算得

=（1+2+3+4+5+6+7）=4，

=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3

=9+4+1+0+1+4+9=28

=(-3) （-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+00.1+10.5+20.9+31.6=14，

b===0.5

a=-b=4.3-0.54=2.3

所求回归方程为=0.5t+2.3

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.

将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得

y=0.5×9+2.3=6.8

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元

（20）解：

（Ⅰ）根据c=以及题设知M（c，），2=3ac

将=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）

故C的离心率为

（Ⅱ）由题意，原点O的的中点，M∥y轴，所以直线M与y轴的交点D是线段M的中点，故=4，即

①

由=得=

设N（x，y），由题意可知y<0,则 即

代入方程C，得+=1 ②

将①以及c=代入②得到+=1

解得a=7，

a=7，

（21）解

（Ⅰ）+-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f（x）在（—∞，+∞）单调递增

（Ⅱ）g（x）=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x

(x)=2[++]=2(+)(+)

（1） 当b2时，g’(x) 0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-,+)单调递增，而g(0)=0，所以对任意x>0,g(x)>0;

（2） 当b>2时，若x满足，2< <2b-2即 0

g（0）=0,因此当0

综上，b的最大值为2

（3） 由（2）知，g(ln)=-2b+2(2b-1)ln2

当b=2时，g(ln)=-4+6ln2>0,ln2>>0.6928

当b=+1时，ln(b-1+)=ln

g(ln)=-2+(3+2)ln2<0

in2<<0.693

(22)解：

（1）连结AB,AC由题设知PA=PD,故PAD=PDA

因为PDA=DAC+DCA

PAD=BAD+PAB

DCA=PAB

所以DAC=BAD,从而。。。。。。。

因此=

（2）由切割线定理得=PB*PC

因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB

由相交弦定理得AD*DE=BD*DC

所以，AD*DE=2

(23)解：

（1）C的普通方程为

+=1(0)

可得C的参数方程（t为参数，0

（Ⅱ）设D（1+cost,sint).由（Ⅰ）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同。

tant=，t=π/3.

故D的直角坐标为（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2, /2）.

(24)解：

（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.

所以f（x）≥2.

（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.

当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜

当0

综上所诉，a的取值范围为（）